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舒兰市进入战时状态

时间:2020-05-28 03:43  编辑:wendj

收稿日期:2006-04-30.

基金项目:国家自然科学基金资助项目(40474003);863计划项目(2001AA135081).

作者简介:王秀花(1981-),女,硕士,主要从事有限群与计算群论的研究.

计算对称群S 9的所有Syl o w -p 子群

王秀花1,2,刘丁酉2

(1.孝感学院数学系,湖北孝感432100;

2.武汉大学数学与统计学院,湖北武汉430072)

摘要:利用Syl ow -p 子群的特性,通过设计有效的算法,给出了计算对称群S 9的全部Syl ow -p 子群及其生成

元的随机性算法,同时给出了计算的流程图及计算结果.

关键词:对称群;Syl ow -p 子群;计算机;程序;算法

中图分类号:O152.1文献标识码:A 文章编号:1008-8423(2006)03-0211-03

研究S n 的某些子群(特别是Syl ow -p 子群)及其结构是群论中的一个重要课题,特别是在生物、物理、化学的领域中,如果弄清楚了这些子群及其结构,将给某些研究带来许多便利

[1~4].但当n 较大时,完全从纯理论的角度去研究的某些子群及其性质,是一种复杂而困难的工作

[5~8].然而,利用计算机设计有效的算法,可以得到满意的结果[8~13].

文献[11]给出了一种计算对称群S n 的全部Syl ow -p 子群的确定性算法,但当n 较大时,这种算法将碰到诸多困难,如计算S n 的所有元素的阶都是比较困难的,因为它面临计算量大,机器内存不够等问题,即使只计算S n 的所有p 阶元,其计算量也难以承受.对此,本文具体设计了一种实际可行的随机性算法,避免了计算困难的问题.值得一提的是,这种算法可以推广到求更高阶S n 的所有Syl ow -p 子群,而且是非常有效的.

1 预备知识

定义1

[1] G 的子群H 称为G 的Syl ow -p 子群,则:(1)O (H )=p l ,l ≥1;(2)O (G )=p l n 且(p,n )=1.定理1[11] n!中素因子p (p <n +1)的最高方幂为:

f p (n )=[n /p ]+[n /p 2]+[n /p 3

]+…  定理1说明对称群S n 中Syl ow -p 的阶为p M ,其中M =f p (n ).具体地,S 9中Syl ow -2子群的阶为27,

Syl ow -3子群的阶为34

,Syl ow -5子群的阶为5,Syl ow -7子群的阶为7.显然,5阶群或7阶群为循环群,可由5阶元或7阶元生成.此外,S n 的阶为p M 的子群一定是Syl ow -p 子群,因此,求Syl ow -p 子群等价于求阶为p M 的子群.

定理2

[1] 有限群G 的任意两个Syl ow -p 子群皆在G 中共轭.由定理2知,只要求出S n 的一个Syl ow -p 子群,然后求出它的共轭类,就能求得它的所有Syl ow -p 子群.

定理3[11] M 为有限群G 的p 子群且非Syl ow -p 子群,则存在a ∈G \M ,使得a 和M 生成的群H =<a,M >也为G 的p 子群,且|M |<|H |.

这说明S 9的Syl ow -p 子群可由p -群出发,通过添加p 阶元的方法逐步生成.

第24卷第3期             湖北民族学院学报(自然科学版)             Vol .24 No .32006年9月         Journal of Hubei I nstitute f or Nati onalities (Natural Science Editi on )         Sep.2006

2 基本算法及具体实现

2.1 计算S 9的所有Sylo w -p

子群的基本算法步骤:步骤① 随机选取两个不能相互生成的p 阶元g 1,g 2(其形式为若干个不相交的p 轮换之积)置M =f p (n ).

步骤② 置H i =<g 1,g 2>,(i =1,2,…)

图1 算法流程图Fig .1 Fl ow chart of algorith m

步骤③ 计算O (H i ).若O (H i )≠p l (l 为非负整数),则转①;否则继续;

步骤④ 若O (H i ) P M

,转⑦;否则继续;

步骤⑤ 任选S 9\H i 中的p 阶g i +1元与

H i 生成子群H =<g i +1,H i >.

步骤⑥ 若O (H i )≠p l (为非负整数),

则转⑤,否则H i ←H (i =i +1),转④.

步骤⑦ 输出H i ,g 1,…g i ,求出H i 的共

轭类集C,并输出C (Syl ow -p 子群).

2.2 计算S 9的所有Syl ow -p 子群的流程图

计算S 9的所有Syl o w -p 子群的流程图

见图1.

2.3 计算共轭子群的算法以两个生成元的子群H =<a,b >为

例.

步骤① 置N =H,M =S 9;

步骤② 任取g ∈M ,若g -1

ag |H,则N

={H,g -1Hg},否则,N ←H,M ←M -g .

步骤③ 若M =<,则输出N ,否则转步

骤②.3 关于算法有效性的说明

(1)在2.1节中,采用随机性算法,由于

p 阶元相对易求(只需找若干不相交的p 轮

换之积),随机地添加p 阶元很容易得到一个

Syl ow -p 子群,且由定理2.3知,只要求出了

一个Syl ow -p 子群,便可通过求其共轭类集

得到所有的Syl ow -p 子群.故此算法在减少

计算困难、加快计算速度上是很成功的.

(2)在2.2节中,任取g ∈S 9,不必计算

g -1Hg,而只需判断H 的生成元a,b 的共轭

是否属于H.事实上,若g -1ag ∈H 且g -1bg ∈

H,则对于任意的a m b n ∈H,有g -1a m b n g =

(g -1ag )m (g -1bg )n ∈H,即g -1Hg =H,这也

大大加快了计算速度.

4 主要结果

利用上述算法,求出了对称群S 9的所有

Syl ow -p 子群,且每个共轭类给出了其中的

2

12                    湖北民族学院学报(自然科学版)               第24卷

一个生成元组,详细结果见表1.

表1 S 9的所有Syl ow -p 子群

Tab .1 A ll the Syl ow -p subgr owp s of S 9

p Syl ow -p 子群的个数一个生成元组22835

<(17945326),(3476),(46),(37)(46),(29)(46)>31120

<(123),(147)(258)(369)>5756

<(19783)>7

4320<(1943682)>参考文献:

[1] 张远达.有限群的构造[M ].北京:科学出版社,1982.

[2] Curtis C W ,Reiner I .Rep resentati on Theory of Finite Gr oup s and A ss ociative A lgebras[M ].Ne w York:I nterscience Pulishers,1962.

[3] ScottW R.Gr oup Theory[M ].Englewood Cliffs N J:Prentice -Hall I nc,1964.

[4] Zassenhaus H.The Theory of Gr oup s[M ].Ne w York:Chelsea Publishing Company,1958.

[5] 华罗庚,万哲先.典型群[M ].上海:上海科学技术出版社,1963.

[6] Huppert B,Endlich Gruppen I[M ].Ne w York:Sp ringer -Verlag,1967.

[7] Govenstein D.Finite Gr oup [M ].Ne w York:Har per &Row Publishers,1980.

[8] 黄本文.计算对称群S 6的所有子群[J ].高校应用数学学报A 辑,2001,16(1):31~35.

[9] 王杰.置换群的计算方法[J ].数学进展,1992,21(2):140~152.

[10] A tkins on M D.Computati onal Gr oup Theory[M ].London:Acade m ic Press,1984.

[11] 黄本文,廖向军,吕云翔.计算对称群S n 的所有Syl ow -p 子群[J ].武汉大学学报(理学版),2004,50(3):303~305.

[12] 黄本文,廖向军,吕云翔,等.计算对称群S 7的所有子群[J ].武汉大学学报(理学版),2005,51(1):39~42.

[13] 王秀花,黄本文.一种计算对称群S n 的所有可解子群的方法[J ].武汉大学学报(理学版),2005,51(S2):31~34.

The Sylow -p Subgroups of Sy mm etr i c Group S 9

WANG Xiu -hua 1,2,L I U D ing -you 2

(1.Depart m ent of Mathe matics,Xiaogan University,Xiaogan 432100,China;

2.School of Mathe matics and Statistics,W uhan University,W uhan 430072,China )

Abstract:By designing effective algorithm ,all of the Syl ow -p subgr oup s of sy mmetric gr oup S 9are f ound .A ls o,the generat ors of each Syl ow -p subgr oup are given .

Key words:sy mmetric gr oup;Syl ow -p subgr oup;computer;p r ogra m;algorithm

3

12第3期              王秀花等:计算对称群S 9的所有Syl ow -p 子群                

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